Полнократное число

Полнократное число — положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя.

Эквивалентное определение: число, представимое в виде [math]\displaystyle{ a^2 b^3 }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — положительные целые числа (натуральные числа).

Полнократные числа систематически изучены Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, наименование дано Соломоном Голомбом.

Список полнократных чисел между 1 и 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Эквивалентность двух определений

Если [math]\displaystyle{ m = a^2 b^3 }[/math], то любое простое в разложении [math]\displaystyle{ a }[/math] входит дважды, а входящее в [math]\displaystyle{ b }[/math] — не менее трёх раз; так что любое простое в разложении [math]\displaystyle{ m }[/math] входит не менее, чем в квадрате.

С другой стороны, пусть [math]\displaystyle{ m }[/math] — полнократное число с разложением

[math]\displaystyle{ m = \prod p_i^{\alpha_i} }[/math],

где каждое [math]\displaystyle{ \alpha_i \ge 2 }[/math]. Определим [math]\displaystyle{ \gamma_i }[/math] равным трём, если [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] нечётно, и нулю в противном случае, и определим [math]\displaystyle{ \beta_i = \alpha_i - \gamma_i }[/math]. Тогда все значения [math]\displaystyle{ \beta_i }[/math] являются неотрицательными чётными целыми, и все значения [math]\displaystyle{ \gamma_i }[/math] либо равны нулю, либо трём, так что:

[math]\displaystyle{ m = (\prod p_i^{\beta_i})(\prod p_i^{\gamma_i}) = (\prod p_i^{\beta_i/2})^2(\prod p_i^{\gamma_i/3})^3 }[/math]

даёт искомое представление [math]\displaystyle{ m }[/math], как произведение квадрата и куба.

Иными словами, для данного разложения числа [math]\displaystyle{ m }[/math] можно взять в качестве [math]\displaystyle{ b }[/math] произведение простых множителей, входящих в разложение с нечётными степенями (если таких нет, то 1). Поскольку [math]\displaystyle{ m }[/math] — полнократное, каждый простой множитель, входящий в разложение с нечётной степенью, имеет степень не менее 3, так что [math]\displaystyle{ m / b^3 }[/math] является целым. Теперь каждый простой множитель [math]\displaystyle{ m / b^3 }[/math] имеет чётную степень, так что [math]\displaystyle{ m / b^3 }[/math] — полный квадрат, обозначим его как [math]\displaystyle{ a^2 }[/math]; и получается [math]\displaystyle{ m = a^2 b^3 }[/math]. Например:

[math]\displaystyle{ m = 21600 = 2^5 \times 3^3 \times 5^2 }[/math],

[math]\displaystyle{ b = 2 \times 3 = 6 }[/math],

[math]\displaystyle{ a = \sqrt{\frac{m}{b^3}} = \sqrt{2^2 \times 5^2} = 10 }[/math],

[math]\displaystyle{ m = a^2b^3 = 10^2 \times 6^3 }[/math].

Математические свойства

Сумма обратных величин полнократных чисел сходится:

[math]\displaystyle{ \prod_p\left(1+\frac{1}{p(p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3) }[/math],

где [math]\displaystyle{ p }[/math] — обходит все простые числа, [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math] — дзета-функция Римана, и [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math] — постоянная Апери (Голомб, 1970).

Пусть [math]\displaystyle{ k(x) }[/math] означает количество полнократных чисел в интервале [math]\displaystyle{ [1,x] }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ k(x) }[/math] пропорционально квадратному корню из [math]\displaystyle{ x }[/math]. Точнее:

[math]\displaystyle{ cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c=\zeta(3/2)/\zeta(3)=2,173\cdots }[/math].

Два наименьших последовательных полнократных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля [math]\displaystyle{ x^2 - 8y^2 = 1 }[/math] имеет бесконечное число решений, то имеется и бесконечное число пар последовательных полнократных чисел; Более общо, можно найти последовательные полнократные числа, найдя решение уравнения, похожего на уравнение Пелля, [math]\displaystyle{ x^2 - ny^2 = \pm 1 }[/math] для любого куба [math]\displaystyle{ n }[/math]. Однако одно из полнократных чисел в паре, полученной таким образом, должно быть квадратом. Согласно Гаю, Эрдёш задавал вопрос, бесконечно ли число пар полнократных чисел аналогичных [math]\displaystyle{ (23^3, 2^3 \cdot 3^2 \cdot 13^2) }[/math], в которых ни одно из чисел в паре не является квадратом. Ярослав Вроблевский показал, что, наоборот, имеется бесконечно много таких пар, показав, что [math]\displaystyle{ 3^3 c^2 +1 = 7^3 d^2 }[/math] имеет бесконечно много решений.

Согласно гипотезе Эрдёша — Моллина — Уолша, не существует трёх последовательных полнократных чисел.

Суммы и разности полнократных чисел

Любое нечётное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов:

[math]\displaystyle{ (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 \Rightarrow (k+1)^2 - k^2 = 2k + 1 }[/math].

Таким же образом, любое число кратное четырём представимо в виде разности двух чисел, отличающихся на два: [math]\displaystyle{ (k + 2)^2 - k^2 = 4k + 4 }[/math]. Однако число, делящееся на два, но не на четыре, нельзя представить в виде разности квадратов, то есть возникает вопрос: какие чётные числа, не делящиеся на 4, могут быть представлены в виде разности двух полнократных чисел.

Голомб дал несколько таких представлений:

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3²(3³ − 5²).

Сначала высказана гипотеза, что число 6 нельзя представить в таком виде, и Голомб предположил, что имеется бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить в виде разности двух полнократных чисел. Однако Наркивич обнаружил, что существует бесконечно много способов представления числа 6, например

6 = 5⁴7³ − 463²,

и Макдэниел показал, что любое число имеет бесконечное число таких представлений .

Эрдёш высказал гипотезу, что любое достаточно большое целое число является суммой максимум трёх полнократных чисел. Гипотеза была доказана Роджером Хит-Брауном.

Обобщение

[math]\displaystyle{ k }[/math]-полнократные числа — числа, в разложении которых простые числа входят со степенью не менее [math]\displaystyle{ k }[/math].

[math]\displaystyle{ (2^{k+1} - 1)^k }[/math], [math]\displaystyle{ 2^k(2^{k+1}-1)^k }[/math], [math]\displaystyle{ (2^{k+1}-1)^{k+1} }[/math] являются [math]\displaystyle{ k }[/math]-полнократными в арифметической прогрессии.

Более того, если [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \dots, a_s }[/math] являются [math]\displaystyle{ k }[/math]-полнократными в арифметической прогрессии с разностью [math]\displaystyle{ d }[/math], то:

[math]\displaystyle{ (a_1 + d)^k, a_2(a_s + d)^k, \dots, a_s(a_s + d)^k, a_s(a_s + d)^{k + 1} }[/math]

являются [math]\displaystyle{ k }[/math]-полнократными числами в арифметической прогрессии.

Для [math]\displaystyle{ k }[/math]- полнократных чисел имеет место:

[math]\displaystyle{ a^k(a^l + \dots + 1)^k + a^{k+1}(a^l + \dots + 1) + \dots + a^{k+l}(a^l + \dots + 1) = a^k(a^l + \dots + 1)^{k+1} }[/math].

Это равенство даёт бесконечно много наборов длины [math]\displaystyle{ l+1 }[/math] [math]\displaystyle{ k }[/math]- полнократных чисел, суммы которых тоже [math]\displaystyle{ k }[/math]-полнократны. Нитадж показал, что имеется бесконечно много решений уравнения [math]\displaystyle{ x + y = z }[/math] среди взаимно простых 3-полнократных чисел. Кон сконструировал бесконечное семейство решений уравнения [math]\displaystyle{ x + y = z }[/math] среди взаимно простых 3-полнократных чисел: тройка

[math]\displaystyle{ X = 9712247684771506604963490444281 }[/math],

[math]\displaystyle{ Y = 32295800804958334401937923416351 }[/math],

[math]\displaystyle{ Z = 27474621855216870941749052236511 }[/math]

является решением уравнения [math]\displaystyle{ 32X^3 + 49Y^3 = 81Z^3 }[/math]. Возможно сконструировать другое решение, положив [math]\displaystyle{ X' = X(49Y^3 + 81Z^3), Y' = - Y(32X^3 + 81Z^3), Z' = Z(32X^3 - 49Y^3) }[/math] и убирая общий делитель.

Литература

• Cohn, J. H. E. A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Math. Comp. — 1998. — Т. 67, вып. 221. — С. 439—440. — doi:10.1090/S0025-5718-98-00881-3.
• Pál Erdős, György Szekeres. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. Sci. Szeged. — 1934. — № 7. — С. 95—102.
• Solomon W. Golomb. Powerful numbers // American Mathematical Monthly. — 1970. — Т. 77, № 8. — С. 848—852. — doi:10.2307/2317020. — .
• Richard K. Guy. Section B16 // Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 0-387-20860-7.
• Roger Heath-Brown. Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers. — Boston: Birkhäuser, 1988. — С. 137—163. — (Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7).
• Roger Heath-Brown. Sums of three square-full numbers. — Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51, 1990. — С. 163—171. — (Number Theory, I (Budapest, 1987)).
• Wayne L. McDaniel. Representations of every integer as the difference of powerful numbers // Fibonacci Quarterly. — 1982. — № 20. — С. 85—87.
• Abderrahmane Nitaj. On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Bull. London Math. Soc.. — 1995. — Т. 4, № 27. — С. 317—318. — doi:10.1112/blms/27.4.317.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Powerful number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• The abc conjecture